Racine d'un polynôme et géométrie - Corrigé

Énoncé

On note \(P\) le polynôme défini sur \(\mathbb{C}\) par \(P(z) = z^3 +3\) .  Montrer que, dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé direct \((\text O,\vec{u};\vec{v})\) , les points d'affixes respectives les racines de \(P\) forment un triangle équilatéral.

Solution

  Soit \(z \in \mathbb{C}\) ,
\(\begin{align*}P(z)=0 & \iff z^3+3=0 \iff z^3=-3\\& \iff \left( \frac{z^3}{-\sqrt[3]{3}} \right)^3 =1\\ & \iff \frac{z^3}{-\sqrt[3]{3}} \in \{ 1; \text e^{\frac{2i\pi}{3}} ; \text e^{\frac{4i\pi}{3}} \}\\ & \iff z \in \{ -\sqrt[3]{3} ; -\sqrt[3]{3} \text e^{\frac{2i\pi}{3}} ;-\sqrt[3]{3} \text e^{\frac{4i\pi}{3}} \}\end {align*}\)

On note \(\text A ,\text B\)  et \(C\) les points d'affixe respectives \(z_\text A= -\sqrt[3]{3} , z_\text B=-\sqrt[3]{3} \text e^{\frac{2i\pi}{3}}\)
et \(z_C=-\sqrt[3]{3} e^{\frac{4i\pi}{3}}\) .
On a \(\text A\text B = \left\vert z_\text B - z_\text A \right\vert = \left\vert -\sqrt[3]{3} \text e^{\frac{2i\pi}{3}} + \sqrt[3]{3} \right\vert= \sqrt[3]{3} \left\vert -\text e^{\frac{2i\pi}{3}} +1 \right\vert= \sqrt[3]{3} \left\vert \dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2} i +1 \right\vert\)

donc \(\text A\text B = \sqrt[3]{3} \left\vert \dfrac{3}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2} i \right\vert= \sqrt[3]{3} \sqrt{\left( \dfrac{3}{2} \right)^2 + \left( \dfrac{\sqrt{3}}{2} \right)^2 }= \sqrt[3]{3} \sqrt{ \dfrac{9}{4} + \dfrac{3}{4} }= \sqrt[3]{3} \dfrac{\sqrt{12}}{2}= \sqrt[3]{3} \sqrt{3}\) .

De même, comme \(z_\text C = \overline{z_\text B}\) et \(z_\text A \in \mathbb{R}\) , on a \(\text A\text C=\sqrt[3]{3} \sqrt{3}\) .
Enfin,
\(\text B\text C = \left\vert z_\text C - z_\text B \right\vert= \left\vert z_\text C - \overline{z_\text C} \right\vert= \left\vert 2i \text I\text m(z_c) \right\vert= 2 \left\vert \sqrt[3]{3} \dfrac{\sqrt{3}}{2} \right\vert= \sqrt[3]{3} \sqrt{3}\) .

On a donc \(\text A\text B=\text A\text C=\text B\text C\) donc le triangle \(\text A\text B\text C\) est équilatéral.